数学里的假话，就是虚假的证明，也称为谬证。
如果谬证足够高级，一般人就很难看出到底哪里有问题，并且由此推导出错误的结论。|
接下来要介绍的就是证明 1 = 2的精彩的谬证。大家在阅读的时候，一定要思考一下到底错在哪里哦。

来源 | 《数学不只有一个答案：16个问题引发的头脑风暴》

作者 | [日]数学爱好者协会会长 一君

方法1 巧妙的变形

首先，看这个证明：

你能看出来这个证明错在哪里吗？

先尝试思考一下吧。

重点就在第 4 行和第 5 行之间。

在这两行之间，我们对左右两边同时除以 a-b。

但在第 1 行已经定义了

a=b

因此 a -b =0，也就是说两边都除以 0，这就造成了后面计算结果的矛盾。

在数学中不能除以 0 是一条铁律，如果用计算器计算除以 0 就会出错。美国海军的宙斯盾巡洋舰所搭载的程序曾经因除以 0 的误操作发生系统瘫痪，导致主机宕机，在加勒比海上漂流了两小时。

在学校考试中，除以 0 也是要扣分的，

除以 0 真是全人类的公敌啊！

话说，为什么不能除以 0 呢？

假设 1÷0 的结果为 x，按照定义，除法是乘法的逆运算，原式就

可以变形为

由于任何数乘以 0 的结果都是 0，因此不存在乘以 0 的结果为 1

的数 x。当然，我们可以尝试强行定义 1=x×0。

于是有

我们推出了 1=2 这种荒谬的结果。

如果将两边加 1，就可以将所有的正整数用等号连起来：

2=3, 3=4, 4=5, …

这真是个大危机啊！

这可太糟糕了，除以 0 好可怕。

方法2导数陷阱

两边同时求导，得

对函数 f(x)=x 求导，f'(x)=1；对 g(x)=x2 求导，g'(x)=2x。这样一想，感觉这个证明好像没什么问题。

虽然乍一看没问题，但这个把戏的秘密在于，左边的“x 个”被当成常量来处理了。

单纯把 x 的导数 1 相加 x 次是不行的，我们必须考虑到实际上“x个”中的 x 是个变量。

对函数求导就是求这个函数的斜率。“x 个 x”这样的函数画不出图像，也就不能对这个函数求导，因此这个证明是不成立的。

方法3视觉把戏

在以下边长为 1 的正三角形中，黑线的长度总和为 1+1=2。

如上图所示，将正三角形的顶点向下翻转，翻转后黑线的长度总和仍然为 2。如此无限重复，最终会与蓝线 A 重合，而蓝线的长度为 1，因此 1=2。

怎么样，从直觉上看：

“咦？2 真的变成 1 了！”

有这种感觉的朋友应该不在少数吧？但其实这是错误的。尽管看上去黑线在不断接近蓝线 A，但实际上无论如何翻转，两条线都不会重合，因此 1=2 是不成立的。

同样，下面也是一个谬证。

这个谬证是采用将正方形右上角向内侧翻转的方法构造的。

同样，在翻转过程中，蓝线 B 的长度总和始终是 2。不断翻转后会变成等腰直角三角形，两条直角边长度为 1，因此斜边长度为 √2，于是 2=√2 。

毋庸置疑，这是一个谬证，但是很容易让人感觉“看起来没错”，对吧？

真是名副其实的“视觉把戏”，是“大胆的假话”。

方法4不定积分陷阱

用分部积分法求下列积分：

两边同时加上 1-I，得 1=2。

在这个证明过程中，遗漏了一个绝对不能遗漏的东西，因此才得出了 1=2 的错误结论。

在不定积分中绝对不能遗漏的东西，大家知道是什么吗？没错，那就是积分常数。

不定积分中包含一个潜在的常数差异，这个常数差异就用积分常数来表示。因此，在 I =1+I 这个等式中，I 本身包含了常数差异，尽管等式本身是正确的，但从两边同时减掉包含常数差异的 I 得到 1=2这一步是错误的。

使用 tan x 也可以变形为同样的形式：

积分常数 C 因为存在感薄弱而经常被遗漏，某些情况下，这样的遗漏就会让我们推导出荒谬的结论。

大家可千万不要遗漏积分常数啊！

方法4交错级数

对于下列由整数的倒数交错加减构成的级数 A：

将各项的顺序重新排列得

因此 A=A/2，即 1=2。

这是一个难以反驳的谬证。

可能很多朋友会被这个证明迷惑。要指出这个证明的错误需要一些大学数学的知识。实际上，在数学上有这样一条规则，即“对于各项绝对值之和不收敛的级数，不能改变其各项的顺序”。

如果像这个谬证一样将无穷级数当成有限级数来处理，任意改变其各项的顺序，就会得出 1=2 这样的矛盾。

对于这样的解释，有些朋友可能感到不服气。事实上，18 世纪的数学家们在发现这条规则之前也对此感到非常苦恼。

大家只要将其理解为，我们平常计算的“有限项求和”中的规则不适用于“无穷项求和”就可以了。

在这里，级数 A 会收敛于 ln 2 这个有限的值，但 |A| 相当于调和级数，其值会发散为无穷大。因此，改变求和的顺序这种做法本身就是错误的。

话说，各项正负交替出现的级数称为交错级数。A 就是最有名的一个交错级数，称为墨卡托级数。

我们还可以反过来利用这一谬证：

假设 |A| 是收敛的，此时通过变形可推出 1=2，产生矛盾，因此根据反证法推出 |A| 是发散的。

如此即可证明 |A| 也就是调和级数是发散的。

在收敛的级数中，像 A 这样绝对值发散的级数称为条件收敛级数，而绝对值也收敛的级数称为绝对收敛级数。

总结一下，对于绝对收敛级数，即使改变各项的顺序，也会收敛到同一个值，但对于条件收敛级数，改变各项的顺序就会收敛到不同的值。

但这也并不完全是坏事。

因为存在这样一条浪漫的定理：“巧妙地改变条件收敛级数中各项的顺序（重排），即可使级数收敛于任意实数。”这条定理称为黎曼重排定理。

上文转自图灵新知，节选自《数学不只有一个答案：16个问题引发的头脑风暴》，[遇见数学]已获转发许可

数学不只有一个答案，数学追求的也不仅仅是答案。

试着从不同的角度和不同的难度来思考同一个数学问题，得到不同的思路和不同的解答，这样的大脑锻炼对提升数学思维和综合应用能力都大有裨益……关键是，这实在太有趣了！