高等数学（第七版）同济大学 习题12-2

1.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性：\begin{aligned}&1. \ 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性：&\end{aligned}​1. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性：​​

(1)1+13+15+⋅⋅⋅+1(2n−1)+⋅⋅⋅；(2)1+1+21+22+1+31+32+⋅⋅⋅+1+n1+n2+⋅⋅⋅；(3)12⋅5+13⋅6+⋅⋅⋅+1(n+1)(n+4)+⋅⋅⋅；(4)sinπ2+sinπ22+sinπ23+⋅⋅⋅+sinπ2n+⋅⋅⋅；(5)∑n=1∞11+an(a>0).\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{(2n-1)}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (2)\ \ 1+\frac{1+2}{1+2^2}+\frac{1+3}{1+3^2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1+n}{1+n^2}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (3)\ \ \frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 6}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{(n+1)(n+4)}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (4)\ \ sin\ \frac{\pi}{2}+sin\ \frac{\pi}{2^2}+sin\ \frac{\pi}{2^3}+\cdot\cdot\cdot+sin\ \frac{\pi}{2^n}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (5)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+a^n}\ (a \gt 0). & \end{aligned}​  (1)  1+31​+51​+⋅⋅⋅+(2n−1)1​+⋅⋅⋅；  (2)  1+1+221+2​+1+321+3​+⋅⋅⋅+1+n21+n​+⋅⋅⋅；  (3)  2⋅51​+3⋅61​+⋅⋅⋅+(n+1)(n+4)1​+⋅⋅⋅；  (4)  sin 2π​+sin 22π​+sin 23π​+⋅⋅⋅+sin 2nπ​+⋅⋅⋅；  (5)  n=1∑∞​1+an1​ (a>0).​​

解：

(1)因为lim⁡n→∞12n−11n=12，而∑n=1∞1n发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。(2)un=1+n1+n2>1+nn+n2=1n，而∑n=1∞1n发散，根据比较审敛法可知，该级数发散。(3)因为lim⁡n→∞1(n+1)(n+4)1n2=1，而∑n=1∞1n2收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数收敛。(4)因为lim⁡n→∞sinπ2n12n=lim⁡n→∞π⋅sinπ2nπ2n=π，而∑n=1∞12n收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数收敛。(5)当01时，11+an<1an，而∑n=1∞1an收敛，根据比较审敛法可知该级数收敛。\begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{2n-1}}{\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}，而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。\\\\ &\ \ (2)\ u_n=\frac{1+n}{1+n^2} \gt \frac{1+n}{n+n^2}=\frac{1}{n}，而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}发散，根据比较审敛法可知，该级数发散。\\\\ &\ \ (3)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{(n+1)(n+4)}}{\frac{1}{n^2}}=1，而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数收敛。\\\\\ &\ \ (4)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{sin\ \frac{\pi}{2^n}}{\frac{1}{2^n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\pi \cdot \frac{sin\ \frac{\pi}{2^n}}{\frac{\pi}{2^n}}=\pi，而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数收敛。\\\\ &\ \ (5)\ 当0 \lt a \le 1时，\frac{1}{1+a^n} \ge \frac{1}{2}，一般项不趋于零，所以\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+a^n}发散，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当a \gt 1时，\frac{1}{1+a^n} \lt \frac{1}{a^n}，而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a^n}收敛，根据比较审敛法可知该级数收敛。 & \end{aligned} ​  (1) 因为n→∞lim​n1​2n−11​​=21​，而n=1∑∞​n1​发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。  (2) un​=1+n21+n​>n+n21+n​=n1​，而n=1∑∞​n1​发散，根据比较审敛法可知，该级数发散。  (3) 因为n→∞lim​n21​(n+1)(n+4)1​​=1，而n=1∑∞​n21​收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数收敛。  (4) 因为n→∞lim​2n1​sin 2nπ​​=n→∞lim​π⋅2nπ​sin 2nπ​​=π，而n=1∑∞​2n1​收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数收敛。  (5) 当01时，1+an1​

2.用比值审敛法判定下列级数的收敛性：\begin{aligned}&2. \ 用比值审敛法判定下列级数的收敛性：&\end{aligned}​2. 用比值审敛法判定下列级数的收敛性：​​

(1)31⋅2+322⋅22+333⋅23+⋅⋅⋅+3nn⋅2n+⋅⋅⋅；    (2)∑n=1∞n23n；(3)∑n=1∞2n⋅n!nn；                                                         (4)∑n=1∞ntanπ2n+1.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \frac{3}{1\cdot 2}+\frac{3^2}{2\cdot 2^2}+\frac{3^3}{3\cdot 2^3}+\cdot\cdot\cdot+\frac{3^n}{n\cdot 2^n}+\cdot\cdot\cdot；\ \ \ \ (2)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{3^n}；\\\\ &\ \ (3)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n\cdot n!}{n^n}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}ntan\ \frac{\pi}{2^{n+1}}. & \end{aligned}​  (1)  1⋅23​+2⋅2232​+3⋅2333​+⋅⋅⋅+n⋅2n3n​+⋅⋅⋅；    (2)  n=1∑∞​3nn2​；  (3)  n=1∑∞​nn2n⋅n!​；                                                         (4)  n=1∑∞​ntan 2n+1π​.​​

解：

(1)因为lim⁡n→∞un+1un=lim⁡n→∞3n+1(n+1)2n+13nn2n=lim⁡n→∞32⋅nn+1=32>1，所以该级数发散。(2)因为lim⁡n→∞un+1un=lim⁡n→∞(n+1)23n+1n23n=lim⁡n→∞13⋅(n+1)2n2=13<1，所以该级数收敛。(3)因为lim⁡n→∞un+1un=lim⁡n→∞2n+1(n+1)!(n+1)n+12nn!nn=lim⁡n→∞2(n1+n)2=2e<1，所以该级数收敛。(4)因为lim⁡n→∞un+1un=lim⁡n→∞(n+1)tanπ2n+2ntanπ2n+1=lim⁡n→∞n+1n⋅π2n+2π2n+1=lim⁡n→∞n+1n⋅12=12<1，所以该级数收敛。\begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{3^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}}{\frac{3^n}{n2^n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3}{2}\cdot \frac{n}{n+1}=\frac{3}{2} \gt 1，所以该级数发散。\\\\ &\ \ (2)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}}{\frac{n^2}{3^n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{3}\cdot \frac{(n+1)^2}{n^2}=\frac{1}{3} \lt 1，所以该级数收敛。\\\\ &\ \ (3)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^nn!}{n^n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}2\left(\frac{n}{1+n}\right)^2=\frac{2}{e} \lt 1，所以该级数收敛。\\\\ &\ \ (4)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)tan\ \frac{\pi}{2^{n+2}}}{ntan\ \frac{\pi}{2^{n+1}}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+1}{n}\cdot \frac{\frac{\pi}{2^{n+2}}}{\frac{\pi}{2^{n+1}}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+1}{n}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \lt 1，所以该级数收敛。 & \end{aligned}​  (1) 因为n→∞lim​un​un+1​​=n→∞lim​n2n3n​(n+1)2n+13n+1​​=n→∞lim​23​⋅n+1n​=23​>1，所以该级数发散。  (2) 因为n→∞lim​un​un+1​​=n→∞lim​3nn2​3n+1(n+1)2​​=n→∞lim​31​⋅n2(n+1)2​=31​<1，所以该级数收敛。  (3) 因为n→∞lim​un​un+1​​=n→∞lim​nn2nn!​(n+1)n+12n+1(n+1)!​​=n→∞lim​2(1+nn​)2=e2​<1，所以该级数收敛。  (4) 因为n→∞lim​un​un+1​​=n→∞lim​ntan 2n+1π​(n+1)tan 2n+2π​​=n→∞lim​nn+1​⋅2n+1π​2n+2π​​=n→∞lim​nn+1​⋅21​=21​<1，所以该级数收敛。​​

3.用根值审敛法判定下列级数的收敛性：\begin{aligned}&3. \ 用根值审敛法判定下列级数的收敛性：&\end{aligned}​3. 用根值审敛法判定下列级数的收敛性：​​

(1)∑n=1∞(n2n+1)n；           (2)∑n=1∞1[ln(n+1)]n；          (3)∑n=1∞(n3n−1)2n−1；(4)∑n=1∞(ban)n，其中an→a(n→∞)，an，b，a均为正数.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{[ln(n+1)]^n}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2n-1}；\\\\ &\ \ (4)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b}{a_n}\right)^n，其中a_n \rightarrow a\ (n \rightarrow \infty)，a_n，b，a均为正数. & \end{aligned}​  (1)  n=1∑∞​(2n+1n​)n；           (2)  n=1∑∞​[ln(n+1)]n1​；          (3)  n=1∑∞​(3n−1n​)2n−1；  (4)  n=1∑∞​(an​b​)n，其中an​→a (n→∞)，an​，b，a均为正数.​​

解：

(1)因为lim⁡n→∞unn=lim⁡n→∞n2n+1=12<1，所以该级数收敛。(2)因为lim⁡n→∞unn=lim⁡n→∞1ln(n+1)=0<1，所以该级数收敛。(3)因为lim⁡n→∞unn=lim⁡n→∞(n3n−1)2n−1n=(13)2<1，所以该级数收敛。(4)因为lim⁡n→∞unn=lim⁡n→∞ban=ba，当ba时，因为lim⁡n→∞unn>1，所以该级数发散，当b=a时，级数收敛性不确定。\begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2} \lt 1，所以该级数收敛。\\\\ &\ \ (2)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{ln(n+1)}=0 \lt 1，所以该级数收敛。\\\\ &\ \ (3)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{\frac{2n-1}{n}}=\left(\frac{1}{3}\right)^2 \lt 1，所以该级数收敛。\\\\ &\ \ (4)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{b}{a^n}=\frac{b}{a}，当b \lt a时，因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n} \lt 1，所以该级数收敛，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当b \gt a时，因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n} \gt 1，所以该级数发散，当b=a时，级数收敛性不确定。 & \end{aligned}​  (1) 因为n→∞lim​nun​​=n→∞lim​2n+1n​=21​<1，所以该级数收敛。  (2) 因为n→∞lim​nun​​=n→∞lim​ln(n+1)1​=0<1，所以该级数收敛。  (3) 因为n→∞lim​nun​​=n→∞lim​(3n−1n​)n2n−1​=(31​)2<1，所以该级数收敛。  (4) 因为n→∞lim​nun​​=n→∞lim​anb​=ab​，当b​<1，所以该级数收敛，        当b>a时，因为n→∞lim​nun​​>1，所以该级数发散，当b=a时，级数收敛性不确定。​​

4.判定下列级数的收敛性：\begin{aligned}&4. \ 判定下列级数的收敛性：&\end{aligned}​4. 判定下列级数的收敛性：​​

(1)34+2(34)2+3(34)3+⋅⋅⋅+n(34)n+⋅⋅⋅；(2)141!+242!+343!+⋅⋅⋅+n4n!+⋅⋅⋅；(3)∑n=1∞n+1n(n+2)；(4)∑n=1∞2nsinπ3n；(5)2+32+⋅⋅⋅+n+1n+⋅⋅⋅；(6)1a+b+12a+b+⋅⋅⋅+1na+b+⋅⋅⋅(a>0，b>0).\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \frac{3}{4}+2\left(\frac{3}{4}\right)^2+3\left(\frac{3}{4}\right)^3+\cdot\cdot\cdot+n\left(\frac{3}{4}\right)^n+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (2)\ \ \frac{1^4}{1!}+\frac{2^4}{2!}+\frac{3^4}{3!}+\cdot\cdot\cdot+\frac{n^4}{n!}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (3)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n(n+2)}；\\\\ &\ \ (4)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}2^nsin\ \frac{\pi}{3^n}；\\\\ &\ \ (5)\ \ \sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}+\cdot\cdot\cdot+\sqrt{\frac{n+1}{n}}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (6)\ \ \frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a+b}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{na+b}+\cdot\cdot\cdot\ (a \gt 0，b \gt 0). & \end{aligned}​  (1)  43​+2(43​)2+3(43​)3+⋅⋅⋅+n(43​)n+⋅⋅⋅；  (2)  1!14​+2!24​+3!34​+⋅⋅⋅+n!n4​+⋅⋅⋅；  (3)  n=1∑∞​n(n+2)n+1​；  (4)  n=1∑∞​2nsin 3nπ​；  (5)  2​+23​​+⋅⋅⋅+nn+1​​+⋅⋅⋅；  (6)  a+b1​+2a+b1​+⋅⋅⋅+na+b1​+⋅⋅⋅ (a>0，b>0).​​

解：

(1)lim⁡n→∞un+1n=lim⁡n→∞n+1n⋅34=34<1，根据比值审敛法可知，该级数收敛。(2)lim⁡n→∞un+1n=lim⁡n→∞(n+1n)4⋅1n+1=0<1，根据比值审敛法可知，该级数收敛。(3)lim⁡n→∞n+1n(n+2)1n=1，而级数∑n=1∞1n发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。(4)因为lim⁡n→∞2nsinπ3n(23)n=lim⁡n→∞π⋅sinπ3nπ3n=π，而几何级数∑n=1∞(23)n收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数收敛。(5)因为lim⁡n→∞un=lim⁡n→∞(n+1n)12=1≠0，所以该级数发散。(6)因为lim⁡n→∞1na+b1n=lim⁡n→∞1a+bn=1a，而级数∑n=1∞1n发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。\begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n+1}{n}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{4} \lt 1，根据比值审敛法可知，该级数收敛。\\\\ &\ \ (2)\ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^4\cdot \frac{1}{n+1}=0 \lt 1，根据比值审敛法可知，该级数收敛。\\\\ &\ \ (3)\ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{n+1}{n(n+2)}}{\frac{1}{n}}=1，而级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。\\\\ &\ \ (4)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2^nsin\ \frac{\pi}{3^n}}{\left(\frac{2}{3}\right)^n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\pi \cdot \frac{sin\ \frac{\pi}{3^n}}{\frac{\pi}{3^n}}=\pi，而几何级数\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 该级数收敛。\\\\ &\ \ (5)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\frac{1}{2}}=1\neq 0，所以该级数发散。\\\\ &\ \ (6)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{na+b}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{a+\frac{b}{n}}=\frac{1}{a}，而级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。 & \end{aligned}​  (1) n→∞lim​nun+1​​=n→∞lim​nn+1​⋅43​=43​<1，根据比值审敛法可知，该级数收敛。  (2) n→∞lim​nun+1​​=n→∞lim​(nn+1​)4⋅n+11​=0<1，根据比值审敛法可知，该级数收敛。  (3) n→∞lim​n1​n(n+2)n+1​​=1，而级数n=1∑∞​n1​发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。  (4) 因为n→∞lim​(32​)n2nsin 3nπ​​=n→∞lim​π⋅3nπ​sin 3nπ​​=π，而几何级数n=1∑∞​(32​)n收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，        该级数收敛。  (5) 因为n→∞lim​un​=n→∞lim​(nn+1​)21​=1=0，所以该级数发散。  (6) 因为n→∞lim​n1​na+b1​​=n→∞lim​a+nb​1​=a1​，而级数n=1∑∞​n1​发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。​​

5.判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？\begin{aligned}&5. \ 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？&\end{aligned}​5. 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？​​

(1)1−12+13−14+⋅⋅⋅+(−1)n−1n+⋅⋅⋅；(2)∑n=1∞(−1)n−1n3n−1；(3)13⋅12−13⋅122+13⋅123−13⋅124+⋅⋅⋅+(−1)n−113⋅12n+⋅⋅⋅；(4)1ln2−1ln3+1ln4−1ln5+⋅⋅⋅+(−1)n−11ln(n+1)+⋅⋅⋅；(5)∑n=1∞(−1)n+12n2n!.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdot\cdot\cdot+\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (2)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{3^{n-1}}；\\\\ &\ \ (3)\ \ \frac{1}{3}\cdot\ \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2^3}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2^4}+\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n-1}\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^n}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (4)\ \ \frac{1}{ln\ 2}-\frac{1}{ln\ 3}+\frac{1}{ln\ 4}-\frac{1}{ln\ 5}+\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n-1}\frac{1}{ln(n+1)}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (5)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{n^2}}{n!}. & \end{aligned}​  (1)  1−2​1​+3​1​−4​1​+⋅⋅⋅+n​(−1)n−1​+⋅⋅⋅；  (2)  n=1∑∞​(−1)n−13n−1n​；  (3)  31​⋅ 21​−31​⋅221​+31​⋅231​−31​⋅241​+⋅⋅⋅+(−1)n−131​⋅2n1​+⋅⋅⋅；  (4)  ln 21​−ln 31​+ln 41​−ln 51​+⋅⋅⋅+(−1)n−1ln(n+1)1​+⋅⋅⋅；  (5)  n=1∑∞​(−1)n+1n!2n2​.​​

解：

(1)un=(−1)n−1n12，∑n=1∞∣un∣=∑n=1∞1n12是发散的，因为∑n=1∞un是交错级数，满足∣un∣>∣un+1∣且lim⁡n→∞un=0，根据莱布尼茨定理可知，该级数收敛，是条件收敛。(2)因为lim⁡n→∞∣un+1un∣=lim⁡n→∞13n+1n=13<1，根据比值审敛法可知，级数∑n=1∞∣un∣收敛，所以该级数是绝对收敛。(3)un=(−1)n−13⋅2n，因为∑n=1∞∣un∣=∑n=1∞13⋅2n是等比级数，公比q=12(∣q∣<1)，所以该级数收敛，是绝对收敛。(4)un=(−1)n−1ln(n+1)，∣un∣=1ln(n+1)>1n+1，而∑n=1∞1n+1是发散的，根据比较审敛法可知，级数∑n=1∞∣un∣发散，又因为∑n=1∞un是交错级数，满足∣un∣>∣un+1∣且lim⁡n→∞un=0，根据莱布尼茨定理可知，该级数收敛，是条件收敛。(5)un=(−1)n+12n2n!，∣un∣=2n⋅2n⋅⋅⋅⋅⋅2n1⋅2⋅⋅⋅⋅⋅n，因为2n>k(k=1，2，⋅⋅⋅，n)，所以∣un∣>1，原级数的一般项un当n→∞时不趋于零，该级数是发散的。\begin{aligned} &\ \ (1)\ u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n^{\frac{1}{2}}}，\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}是发散的，因为\sum_{n=1}^{\infty}u_n是交错级数，满足|u_n| \gt |u_{n+1}|且\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 根据莱布尼茨定理可知，该级数收敛，是条件收敛。\\\\ &\ \ (2)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{3}\frac{n+1}{n}=\frac{1}{3} \lt 1，根据比值审敛法可知，级数\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|收敛，所以该级数是绝对收敛。\\\\ &\ \ (3)\ u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{3\cdot 2^n}，因为\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3\cdot 2^n}是等比级数，公比q=\frac{1}{2}\ (|q| \lt 1)，所以该级数收敛，是绝对收敛。\\\\ &\ \ (4)\ u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{ln(n+1)}，|u_n|=\frac{1}{ln(n+1)} \gt \frac{1}{n+1}，而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}是发散的，根据比较审敛法可知，级数\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|发散，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 又因为\sum_{n=1}^{\infty}u_n是交错级数，满足|u_n| \gt |u_{n+1}|且\lim_{n \rightarrow \infty}u_n=0，根据莱布尼茨定理可知，该级数收敛，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 是条件收敛。\\\\ &\ \ (5)\ u_n=\frac{(-1)^{n+1}2^{n^2}}{n!}，|u_n|=\frac{2^n\cdot 2^n\cdot\ \cdot\cdot\cdot\ \cdot 2^n}{1\cdot 2\cdot\ \cdot\cdot\cdot\ \cdot n}，因为2^n \gt k\ (k=1，2，\cdot\cdot\cdot，n)，所以|u_n| \gt 1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 原级数的一般项u_n当n \rightarrow \infty时不趋于零，该级数是发散的。 & \end{aligned}​  (1) un​=n21​(−1)n−1​，n=1∑∞​∣un​∣=n=1∑∞​n21​1​是发散的，因为n=1∑∞​un​是交错级数，满足∣un​∣>∣un+1​∣且n→∞lim​un​=0，        根据莱布尼茨定理可知，该级数收敛，是条件收敛。  (2) 因为n→∞lim​​un​un+1​​​=n→∞lim​31​nn+1​=31​<1，根据比值审敛法可知，级数n=1∑∞​∣un​∣收敛，所以该级数是绝对收敛。  (3) un​=3⋅2n(−1)n−1​，因为n=1∑∞​∣un​∣=n=1∑∞​3⋅2n1​是等比级数，公比q=21​ (∣q∣<1)，所以该级数收敛，是绝对收敛。  (4) un​=ln(n+1)(−1)n−1​，∣un​∣=ln(n+1)1​>n+11​，而n=1∑∞​n+11​是发散的，根据比较审敛法可知，级数n=1∑∞​∣un​∣发散，        又因为n=1∑∞​un​是交错级数，满足∣un​∣>∣un+1​∣且n→∞lim​un​=0，根据莱布尼茨定理可知，该级数收敛，        是条件收敛。  (5) un​=n!(−1)n+12n2​，∣un​∣=1⋅2⋅ ⋅⋅⋅ ⋅n2n⋅2n⋅ ⋅⋅⋅ ⋅2n​，因为2n>k (k=1，2，⋅⋅⋅，n)，所以∣un​∣>1，        原级数的一般项un​当n→∞时不趋于零，该级数是发散的。​​