【Matlab算法】粒子群算法求解一维非线性函数问题(附MATLAB代码)
创始人
2025-05-29 12:34:10
0

MATLAB求解一维非线性函数问题

  • 前言
  • 正文
  • 函数实现(可视化处理)
    • 可视化结果

前言

一维非线性函数是指函数的自变量和因变量都是一维实数,而且函数的形式是非线性的,也就是不符合线性函数的形式。在一维非线性函数中,自变量和因变量之间的关系通常是曲线状的,而不是直线状的。这种函数形式很常见,可以描述很多实际问题,如物理学、工程学、生物学等领域的各种现象和过程。常见的一维非线性函数包括二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。这些函数形式都不是线性的,其函数值与自变量之间的关系并不满足线性关系,因此需要使用不同的数学方法来求解最优解。
下面几个常见的一维非线性函数的例子:

幂函数:y=x2y=x^2y=x2、y=x3y=x^3y=x3、y=x4y=x^4y=x4等;
指数函数:y=exy=e^xy=ex、y=2xy=2^xy=2x、y=10xy=10^xy=10x等;
对数函数:y=ln⁡(x)y=\ln(x)y=ln(x)、y=log⁡2(x)y=\log_2(x)y=log2​(x)、y=log⁡10(x)y=\log_{10}(x)y=log10​(x)等;
三角函数:y=sin⁡(x)y=\sin(x)y=sin(x)、y=cos⁡(x)y=\cos(x)y=cos(x)、y=tan⁡(x)y=\tan(x)y=tan(x)等;
双曲函数:y=sin⁡(x)y=\sin(x)y=sin(x)、y=cos⁡(x)y=\cos(x)y=cos(x)、y=tan⁡(x)y=\tan(x)y=tan(x)等;
逻辑斯蒂函数:y=11+e−xy = \frac{1}{1+e^{-x}}y=1+e−x1​,常用于分类问题中的概率计算。

这些非线性函数的特点是函数图像不是一条直线,而是具有弯曲或曲线变化的形状,其导数也不是常数而是变化的。在优化问题中,非线性函数的优化往往比线性函数更加复杂和困难。

粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO) 是一种启发式优化算法,它源于对鸟群捕食行为的研究。在粒子群算法中,被优化的问题被视为一个多维空间中的目标函数,算法通过模拟群体中每个粒子在空间中的搜索行为来寻找目标函数的全局最优解。

每个粒子在搜索空间中的位置表示一个潜在解,其速度表示了搜索方向和步长。每个粒子具有一个适应度值,该适应度值根据目标函数的表现来计算。粒子群算法通过协同粒子的行为来优化目标函数。粒子的速度和位置在每个迭代中被更新,使其朝着群体中的最佳位置和全局最佳位置移动。

粒子群算法的运行过程如下:

  1. 初始化粒子群,包括每个粒子的初始位置和速度,并设置全局最佳位置和全局最佳适应度值为初始值。
  2. 计算每个粒子的适应度值,更新全局最佳位置和全局最佳适应度值。
  3. 更新每个粒子的速度和位置,根据每个粒子当前位置与全局最佳位置之间的差异来调整速度和位置。
  4. 重复步骤23,直到达到指定的停止准则,如达到最大迭代次数或满足收敛要求。

在实践中,粒子群算法经常与其他优化算法结合使用,例如遗传算法、模拟退火等。这些算法的组合可以提高搜索效率和准确性,从而提高优化问题的解决效率。

正文

优化如下的三角函数:y=sin⁡(x)+cos⁡(2x)y=\sin(x)+\cos(2x)y=sin(x)+cos(2x)
其中,xxx 为变量,范围为 [−π,π][-\pi, \pi][−π,π]。

具体优化步骤如下:

  1. 初始化粒子群:随机生成一些粒子的位置和速度。
  2. 计算每个粒子的适应度:根据粒子的位置计算目标函数值。
  3. 更新全局最优解和个体最优解:记录历史最优解,并更新全局最优解和个体最优解。
  4. 更新粒子的速度和位置:根据全局最优解和个体最优解来更新粒子的速度和位置。
  5. 检查终止条件:检查是否满足终止条件,如果不满足则返回第3步。

在实际的实现中,我们需要选择合适的参数,如粒子数、迭代次数、惯性权重、加速度系数等,以及相应的初始值。此外,我们还需要考虑如何处理边界问题,如何控制算法的收敛速度等。
最后,通过绘制目标函数的图像来观察算法的优化效果,即目标函数值随着迭代次数的变化情况。

函数实现(可视化处理)

%%
clear
close all
warning off
clc
%% 调用粒子群算法求解
x_min = -pi;
x_max = pi;
n_pop = 50;
n_iter = 100;
w = 0.8;
c1 = 1.5;
c2 = 1.5;
[gbest, gbest_val] = pso(@objfun, x_min, x_max, n_pop, n_iter, w, c1, c2);% 输出结果
fprintf('最优解:x = %f,最优值:%f\n', gbest, gbest_val);% 可视化处理
x = linspace(-pi, pi, 1000);
y = sin(x) + cos(2*x);
plot(x, y);
hold on;
plot(gbest, gbest_val, 'ro', 'MarkerSize', 10);
title('PSO for Nonlinear Function Optimization');
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Objective Function', 'Optimal Solution');
hold off;% 目标函数
function y = objfun(x)y = sin(x) + cos(2*x);
end% 粒子群算法
function [gbest, gbest_val] = pso(objfun, x_min, x_max, n_pop, n_iter, w, c1, c2)% 参数设置x_range = x_max - x_min;v_min = -x_range;v_max = x_range;% 初始化粒子pop = x_min + rand(n_pop, 1) * x_range;v = v_min + rand(n_pop, 1) * (v_max - v_min);pbest = pop;pbest_val = objfun(pop);[gbest_val, gbest_idx] = min(pbest_val);gbest = pbest(gbest_idx);% 迭代for i = 1:n_iter% 更新速度和位置r1 = rand(n_pop, 1);r2 = rand(n_pop, 1);v = w*v + c1*r1.*(pbest-pop) + c2*r2.*(gbest-pop);pop = pop + v;% 边界处理pop(pop < x_min) = x_min;pop(pop > x_max) = x_max;% 更新个体历史最优和全局历史最优pbest_val_new = objfun(pop);pbest_update_idx = pbest_val_new < pbest_val;pbest(pbest_update_idx) = pop(pbest_update_idx);pbest_val(pbest_update_idx) = pbest_val_new(pbest_update_idx);[gbest_val_new, gbest_idx_new] = min(pbest_val);if gbest_val_new < gbest_valgbest = pbest(gbest_idx_new);gbest_val = gbest_val_new;endend
end

可视化结果

请添加图片描述

相关内容

热门资讯

华熙生物赵燕谈胶原蛋白乱象:科... 21世纪经济报道记者雷晨 北京报道 近年来,重组胶原蛋白成为医美和护肤领域的热门概念,市场宣传中不乏...
富春染织完成董事会选举换届 开... 7月25日晚间,富春染织公告显示,当日,公司2025年第一次临时股东会和富春染织第四届第一次董事会在...
圣湘生物:两款产品取得医疗器械... 每经AI快讯,圣湘生物(SH 688289,收盘价:22.94元)7月27日晚间发布公告称,圣湘生物...
10年期国债收益率升至1.73... 近期债券市场出现显著调整,多重因素交织推动收益率持续上行。权益市场强势表现与大宗商品价格上涨形成合力...
当对手都在做下沉 蜜雪冰城旗下... [ 今年5月,蜜雪集团跟巴西签署40亿元人民币的采购意向大单,其中大多数是咖啡豆。 ] 当星巴克、瑞...
新手必看!股指期货交易规则基础... 股指期货交易规则,看似复杂抽象,实则与我们的日常生活有着奇妙的共通之处。它就像一场精心编排的生活交响...
王登发履新茅台技开公司“一把手... 一则微信公众号发布的信息,披露了茅台集团旗下的技术开发公司“一把手”已换人。 近日,南都湾财社-酒水...
特斯拉机器人V3量产版亮相!马... 快科技7月27日消息,特斯拉的Optimus人形机器人V3量产版终于要来了!马斯克在最近的财报电话会...
原创 中... 在金融全球化的浪潮中,中国资本市场始终勇立潮头,不断探索前行。7月26日,中国资本市场学会成立大会暨...
报告:我国经济增长保持韧性 下... 央广网北京7月27日消息(记者 樊瑞)近日,中国金融四十人论坛(CF40论坛)发布《2025年第二季...
超6300亿元!A股银行“分红... 7月25日,成都银行完成权益分派股权登记,将于7月28日发放现金红利,这标志着A股上市银行2024年...
老铺黄金:2025年上半年单个... 7月27日晚,老铺黄金(HK06181)披露2025年中期业绩预告。预计2025年上半年实现销售业绩...
保险行业2025年上半年回顾与... 今天分享的是:保险行业2025年上半年回顾与未来展望 报告共计:59页 2025年上半年保险行业回顾...
数币App上新!消费者、商户两... 数字人民币试点持续推进,相关数字钱包手机应用程序功能也在优化中。7月21日,北京商报记者注意到,日前...
A股热点迭出,个股连续涨停!资... 近段时间以来A股市场整体走势较为强劲,上周以来在雅江概念集体上行的推动下涨势更为明显,主要指数不同程...
原创 印... 令人惊讶的是,印度人开始反思自身制造业的发展状况。印度经济学家帕纳加利亚指出,印度原本有机会在20年...
首创证券拟赴港上市,“A+H”... 首创证券在A股上市不足三年便启动赴港上市计划。近日,首创证券公告称,公司董事会已审议通过了公司拟发行...
肥东杨大爷要帮“儿子”还钱,银... “儿子”在外借了2万元还不上 “要债人”电话直接打了过来 还?还是不还? 7月6日 肥东县公安局梁园...
A股上周16家上市公司公布并购... 转自:扬子晚报 扬子晚报网7月27日讯(记者 范晓林 薄云峰)近段时间以来,A股市场并购重组活跃度持...
独家|某股份行改动零售业务关键... 在资产端信贷“投不动”(多家行零售信贷增速连续几个季度放缓、更有甚者个贷投放负增长)、负债端存款“定...