数学分析课程笔记（张平）：函数
01 函数
\quad 作为数学分析的第一节课，首先深入了解一下函数。
\quad 翻看一些教材可以发现，有些教材将“函数”与“映射”区分为两个概念，有些教材（尤其是前苏联时期的一些教材）则将其视为一个概念。实际上，“函数”也的确就是“映射”。
\quad 在高中阶段，我们认为函数的概念为：若给定集合 X,YX,YX,Y，存在一个对应法则 fff，使得
∀x∈X,∃!y∈Ys.t.y=f(x),\forall ~ x \in X,~\exists ~ !y \in Y \quad s.t.\quad y=f(x), ∀ x∈X, ∃ !y∈Ys.t.y=f(x),
则称 f:X⟶Yf:X\longrightarrow Yf:X⟶Y 为 函数。简单来说，函数可以是“一对一”，亦可以是“多对一”，但绝不可以是“一对多”！
\quad 步入分析学的领域后，函数的概念需要进行拓广！
函数：若给定集合 X,YX,YX,Y，存在一个对应法则 fff，使得
∀x∈X,∃y∈Ys.t.y=f(x),\forall ~ x \in X,~\exists ~ y \in Y \quad s.t.\quad y=f(x), ∀ x∈X, ∃ y∈Ys.t.y=f(x),
则称 f:X⟶Yf:X\longrightarrow Yf:X⟶Y 为 函数。进行拓广后，函数也可以是“一对多”了。
\quad 复变函数就是典型的“一对多”函数。
\quad 设 f:X⟶Yf:X\longrightarrow Yf:X⟶Y 为函数，即：
X→fY∀x∈X↦y∈Y,y=f(x)\begin{aligned} X &\xrightarrow{f}Y \\ \forall x\in X &\mapsto y\in Y,y=f\left( x \right) \end{aligned} X∀x∈XfY↦y∈Y,y=f(x)
则：
f(X):={y∈Y∣∃x((x∈X)∧(y=f(x)))}f(X):=\{y \in Y\mid \exists ~ x ((x \in X)\land(y=f(x)))\} f(X):={y∈Y∣∃ x((x∈X)∧(y=f(x)))}
称为函数的 值域。
\quad 其中，XXX 称为 定义域，YYY 称为 到达域。
\quad 显然，定义一个函数（或者说是映射），需要知晓：
- 定义域 XXX；
- 对应法则 fff；
- 到达域 YYY.
\quad 微积分主要研究的是 可微函数，实变函数主要研究 可测函数。通常我们研究的函数形式为 f:X⟶Yf:X \longrightarrow Yf:X⟶Y，X,Y⊂RnX,Y \subset \mathbb{R}^{n}X,Y⊂Rn. 而研究这种函数，首先就要先认识 Rn\mathbb{R}^{n}Rn 或者 R\mathbb{R}R.
\quad R\mathbb{R}R 是什么东西？中学我们便接触它了，它就是 实数集。但实际上，正如我们会使用计算机，但不清楚其构造原理一般，我们缺乏对实数集 R\mathbb{R}R 的真正认识！
参考：
- 张平. 数学分析课程.