微分的定义

设函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​的某个邻域内有定义，若函数增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)可表示为Δy=aΔx+o(Δx)\Delta y=a\Delta x+o(\Delta x)Δy=aΔx+o(Δx)，其中aaa为不依赖于Δx\Delta xΔx的常数，则称y=f(x)y=f(x)y=f(x)在x0x_0x0​处可微，其中aΔxa\Delta xaΔx叫做函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在点x0x_0x0​相应于自变量Δx\Delta xΔx的微分，记作dydydy，即dy=aΔxdy=a\Delta xdy=aΔx.

导数和微分的关系

• a=f′(x),Δx=dx,dy=f′(x)dxa=f'(x),\Delta x=dx,dy=f'(x)dxa=f′(x),Δx=dx,dy=f′(x)dx
• f′(x)=dydxf'(x)=\dfrac{dy}{dx}f′(x)=dxdy​
• 可导是可微的充要条件

可导是可微的充要条件的证明

充分性
\qquad设f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​处可导，则下面极限存在：
lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f′(x0)\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0)Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​=f′(x0​)

\qquad即
lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)−f′(x0)ΔxΔx=0\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)-f'(x_0)\Delta x}{\Delta x}=0Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)−f′(x0​)Δx​=0

\qquad所以，当Δx→0\Delta x\rightarrow0Δx→0时，
Δf(x0)=f′(x0)Δx+o(Δx)\Delta f(x_0)=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)Δf(x0​)=f′(x0​)Δx+o(Δx)

\qquad由此可得f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​处可微，并且df(x0)=f′(x0)dxdf(x_0)=f'(x_0)dxdf(x0​)=f′(x0​)dx.

必要性
\qquad设f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​处可微，则∃a∈R\exist a\in R∃a∈R，使得当Δx→0\Delta x\rightarrow0Δx→0时，
Δf(x0)=aΔx+o(Δx)\Delta f(x_0)=a\Delta x+o(\Delta x)Δf(x0​)=aΔx+o(Δx)
lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x)Δx=lim⁡Δx→0aΔx+o(Δx)Δx=a\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\dfrac{a\Delta x+o(\Delta x)}{\Delta x}=aΔx→0lim​ΔxΔy​=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x)​=Δx→0lim​ΔxaΔx+o(Δx)​=a

\qquad即f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​处可导，并且f′(x0)=af'(x_0)=af′(x0​)=a

例1

设函数f(x)=x3−xf(x)=x^3-xf(x)=x3−x，当x=2,Δx=0.01x=2,\Delta x=0.01x=2,Δx=0.01时，函数yyy的微分dydydy是‾\underline{\qquad}​.

解：
f′(x)=(3x2−1)∣x=2=11\qquad f'(x)=(3x^2-1)|_{x=2}=11f′(x)=(3x2−1)∣x=2​=11

dy=f′(x)Δx=11×0.01=0.11\qquad dy=f'(x)\Delta x=11\times 0.01=0.11dy=f′(x)Δx=11×0.01=0.11

例2

设函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在x0x_0x0​处可微，自变量在x0x_0x0​处有改变量Δx=0.2\Delta x=0.2Δx=0.2，相应的函数该变量Δy\Delta yΔy的线性主部等于0.80.80.8，则f′(x0)=‾f'(x_0)=\underline{\qquad}f′(x0​)=​.

解：
Δy=aΔx+o(Δx)\qquad \Delta y=a\Delta x+o(\Delta x)Δy=aΔx+o(Δx)

\qquad线性主部为dy=aΔx=0.8dy=a\Delta x=0.8dy=aΔx=0.8

\qquad即f′(x0)⋅0.2=0.8f'(x_0)\cdot 0.2=0.8f′(x0​)⋅0.2=0.8，得f′(x0)=4f'(x_0)=4f′(x0​)=4

总结

利用可导是可微的充要条件，利用导数和微分的关系来解题。