主成分分析概念介绍及公式推导

​ 主成分分析，因为特征之间可能存在相关性，这样的特征一起利用显得冗余，利用主成分分析，将原始特征进行运算，得到更加合适于样本的特征。从几何意义角度显示就是对数据进行了降维。

计算过程，整个过程可以结合上面网址例子走一遍

• 求特征平均值，对于所有的样例，减去对应的特征平均值，再减去方差做归一化处理
• 计算协方差矩阵
• 计算协方差的特征值和特征向量
• 将特征值从大到小排列，选取最大的k个，将对应的k个特征向量作为列向量组成特征向量矩阵
• 将样本点投影到特征向量上，用减去均值的样本矩阵m*n乘以特征向量组成的矩阵n*k，得到最终的数据矩阵

上面网站PCA理论基础自行了解

在进行主成分分析前，先补充对数据做合适性检验先来判断是否数据适合做主成分分析

• 球形检验

假设：

​ H0：相关系数矩阵为单位阵（即变量不相关）

​ H1：相关系数矩阵不是单位阵（即变量间有相关关系）

• KMO统计量

KMO的值在0,1之间，该值越大，则样本数据越适合作主成分分析和因子分析。一般要求该值大于0.5，方可作主成分分析或者相关分析。

代码

热力图用不了可能是matlab绘图库和它冲突了，可以试试降低matlab绘图库版本

数据需要删除第一样第一列，否则会报格式错误

# 数据处理
import pandas as pd
import numpy as np# 绘图
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as pltdf = pd.read_csv("aa.csv", encoding='gbk', index_col=0).reset_index(drop=True)
print(df)# Bartlett's球状检验
from factor_analyzer.factor_analyzer import calculate_bartlett_sphericitychi_square_value, p_value = calculate_bartlett_sphericity(df)
print(chi_square_value, p_value)# KMO检验
# 检查变量间的相关性和偏相关性，取值在0-1之间；KOM统计量越接近1，变量间的相关性越强，偏相关性越弱，因子分析的效果越好。
# 通常取值从0.6开始进行因子分析
from factor_analyzer.factor_analyzer import calculate_kmokmo_all, kmo_model = calculate_kmo(df)
print(kmo_all)# #标准化# #所需库
# from sklearn import preprocessing
# #进行标准化
# df = preprocessing.scale(df)
# print(df)# #求解系数相关矩阵
# covX = np.around(np.corrcoef(df.T),decimals=3)
# print(covX)# #求解特征值和特征向量
# featValue, featVec=  np.linalg.eig(covX.T)  #求解系数相关矩阵的特征值和特征向量
# print(featValue, featVec)# 不标准化
# 均值
def meanX(dataX):return np.mean(dataX, axis=0)  # axis=0表示依照列来求均值。假设输入list,则axis=1average = meanX(df)
print(average)# 查看列数和行数
m, n = np.shape(df)
print(m, n)# 均值矩阵
data_adjust = []
avgs = np.tile(average, (m, 1))
print(avgs)# 去中心化
data_adjust = df - avgs
print(data_adjust)# 协方差阵
covX = np.cov(data_adjust.T)  # 计算协方差矩阵
print(covX)# 计算协方差阵的特征值和特征向量
featValue, featVec = np.linalg.eig(covX)  # 求解协方差矩阵的特征值和特征向量
print(featValue, featVec)####下面没有区分######## 对特征值进行排序并输出 降序
featValue = sorted(featValue)[::-1]
print(featValue)# 绘制散点图和折线图
# 同样的数据绘制散点图和折线图
plt.scatter(range(1, df.shape[1] + 1), featValue)
plt.plot(range(1, df.shape[1] + 1), featValue)# 显示图的标题和xy轴的名字
# 最好使用英文，中文可能乱码
plt.title("Scree Plot")
plt.xlabel("Factors")
plt.ylabel("Eigenvalue")plt.grid()  # 显示网格
plt.show()  # 显示图形# 求特征值的贡献度
gx = featValue / np.sum(featValue)
print(gx)# 求特征值的累计贡献度
lg = np.cumsum(gx)
print(lg)# 选出主成分
k = [i for i in range(len(lg)) if lg[i] < 0.85]
k = list(k)
print(k)# 选出主成分对应的特征向量矩阵
selectVec = np.matrix(featVec.T[k]).T
selectVe = selectVec * (-1)
print(selectVec)# 主成分得分
finalData = np.dot(data_adjust, selectVec)
print(finalData)# 绘制热力图plt.figure(figsize=(14, 14))
ax = sns.heatmap(selectVec, annot=True, cmap="BuPu")# 设置y轴字体大小
ax.yaxis.set_tick_params(labelsize=15)
plt.title("Factor Analysis", fontsize="xx-large")# 设置y轴标签
plt.ylabel("Sepal Width", fontsize="xx-large")
# 显示图片
plt.show()# 保存图片
# plt.savefig("factorAnalysis", dpi=500)