文章目录

• 向量@线性方程组与向量
• • 不具体线性方程组的解
  • • n维向量
    • 向量组的表示
    • 线性方程组的向量组写法:
  • 向量和向量组间的关系
  • • n维单位向量
  • 向量组线性相关性@无关性🎈
  • • 例
    • 例
    • 定理
    • • 1
      • 2
    • 向量组本身向量间相互关系
  • 2个向量组间的表示关系
  • • 向量组的相互表出@记号说明🎈
    • 被表出向量组的线性相关性

向量@线性方程组与向量

不具体线性方程组的解

• 高斯消元法适合求解具体的线性方程组
• 消元法将原方程组化为阶梯形方程组的结果是否唯一?

n维向量

• 由n个数a1,a2,⋯,ana_1,a_2,\cdots,a_na1​,a2​,⋯,an​组成的有序数组(a1,a2,⋯,an)(a_1,a_2,\cdots,a_n)(a1​,a2​,⋯,an​)称为一个n维向量

  • 数aia_iai​称为向量的第i个分量

• 通常以小写希腊字母α,β,γ,⋯\alpha,\beta,\gamma,\cdotsα,β,γ,⋯表示向量

• 向量通常写成一行或一列,分别称为行向量,列向量

  • 一个n维行向量是1×n1\times{n}1×n的矩阵
  • 一个n维列向量是n×1n\times{1}n×1的矩阵
  • 列向量可以看作行向量的转置

• 分量全为0的向量称为零向量

• −α=−(a1,a2,⋯,an)=(−a1,−a2,⋯,−an)-\alpha=-(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(-a_1,-a_2,\cdots,-a_n)−α=−(a1​,a2​,⋯,an​)=(−a1​,−a2​,⋯,−an​)为向量α\alphaα的负向量

• 矩阵的列向量组

  • A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn)A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\cdots &a_{2n} \\ \vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\cdots &a_{mn} \\ \end{pmatrix} A=​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​​

  • 记αj=(a1ja2j⋮amj),j=1,2,⋯,nA=(α1α2⋯αin)\\记\alpha_j =\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \\ \end{pmatrix},j=1,2,\cdots,n \\A=\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{in} \\ \end{pmatrix} 记αj​=​a1j​a2j​⋮amj​​​,j=1,2,⋯,nA=(α1​​α2​​⋯​αin​​)

  • 记βi=(ai1,ai2,⋯,ain)A=(β1β2⋮βi)A=(α1α2⋯αin)=(β1β2⋮βi)记\beta_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}) \\ A= \begin{pmatrix} \beta_{1}\\ \beta_{2}\\ \vdots \\ \beta_{i} \\ \end{pmatrix} \\ A= \begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{in} \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \beta_{1}\\ \beta_{2}\\ \vdots \\ \beta_{i} \\ \end{pmatrix} 记βi​=(ai1​,ai2​,⋯,ain​)A=​β1​β2​⋮βi​​​A=(α1​​α2​​⋯​αin​​)=​β1​β2​⋮βi​​​

向量组的表示

• 某个含有s个n维向量的向量组Φ\PhiΦ的表示:

• 向量通项表示法:

  • αj=(a1ja2j⋮anj)=(a1j,a2j,⋯,anj)T,j=1,2,⋯,s简称为向量组αj\alpha_j =\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{nj} \\ \end{pmatrix} =(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{nj})^T ,j=1,2,\cdots,s \\简称为向量组\alpha_j αj​=​a1j​a2j​⋮anj​​​=(a1j​,a2j​,⋯,anj​)T,j=1,2,⋯,s简称为向量组αj​

• 字母表示法:

  • Φ=α1α2⋅,αs\Phi=\alpha_1\alpha_2\cdot,{\alpha_s}Φ=α1​α2​⋅,αs​,简称为向量组Φ\PhiΦ

线性方程组的向量组写法:

• 线性方程组:Ax=Bm×1Ax=B_{m\times{1}}Ax=Bm×1​可以用列向量组表示为线性关系式:

  • Ax=x1α1+x2α2+⋯+xnαn=B或(α1α2⋯αn)(x1x2⋮xn)=B或∑i=1nxiαi=BAx=x_1\alpha_{1}+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_{n}=B \\或 \begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix}=B \\或\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_{i}=B Ax=x1​α1​+x2​α2​+⋯+xn​αn​=B或(α1​​α2​​⋯​αn​​)​x1​x2​⋮xn​​​=B或i=1∑n​xi​αi​=B

  • 方程组是否有解等价于上式是否有解成立

• 而Ax=0Ax=\bold{0}Ax=0可以表示为

  • Ax=x1α1+x2α2+⋯+xnαn=0Ax=x_1\alpha_{1}+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_{n}=\bold{0} Ax=x1​α1​+x2​α2​+⋯+xn​αn​=0

  • 方程组有非零解等价于上式是否存在非零解

向量和向量组间的关系

• 向量的线性组合和线性表示

  • 对于s+1s+1s+1个n维向量α1,α2,⋯,αs,β\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\betaα1​,α2​,⋯,αs​,β,如果存在一组数k1,k2,⋯,ksk_1,k_2,\cdots{,k_s}k1​,k2​,⋯,ks​使得

    • β=∑i=1skiαi用矩阵长乘法表示:β=(α1α2⋯αs)(k1k2⋮ks)\beta=\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\alpha_{i} \\ 用矩阵长乘法表示: \\ \beta=\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{s} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_{1}\\ k_{2}\\ \vdots \\ k_{s} \\ \end{pmatrix} β=i=1∑s​ki​αi​用矩阵长乘法表示:β=(α1​​α2​​⋯​αs​​)​k1​k2​⋮ks​​​

      则称β\betaβ是向量组A=α1,α2,⋯,αsA=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sA=α1​,α2​,⋯,αs​的一个(关于表出系数K=k1,k2,⋯,ksK=k_1,k_2,\cdots{,k_s}K=k1​,k2​,⋯,ks​)的线性组合

    • 或称β\betaβ可以被A线性表出

    • 观察线性方程组

      • (α1α2⋯αn)(x1x2⋮xn)=β\begin{pmatrix} \alpha_{1}&\alpha_{2}&\cdots&\alpha_{n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{pmatrix}=\beta (α1​​α2​​⋯​αn​​)​x1​x2​⋮xn​​​=β

      • β\betaβ能否被向量组线性表出,取决于方程组是否有解

    • 小结:

      • 向量β\betaβ能被向量组A=α1,α2,⋯,αsA=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sA=α1​,α2​,⋯,αs​线性表出时,当且仅当Ax=βAx=\betaAx=β有解,即r(A)=r(A,β)r(A)=r(A,\beta)r(A)=r(A,β)
        • s为表出系数的个数(方程组含有的未知数个数,也是向量组A中含有的列向量个数)
        • Ax=βAx=\betaAx=β的解就是β\betaβ关于向量组A的表出系数
      • 当向量组A=α1,α2,⋯,αs,βA=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\betaA=α1​,α2​,⋯,αs​,β满足r(A)=r(A,B)r(A)=r(A,B)r(A)=r(A,B)时,β\betaβ可以被α1,α2,⋯,αs\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sα1​,α2​,⋯,αs​线性表出
        • 若r(A)=sr(A)=sr(A)=s,则β\betaβ可以被A唯一线性表示
        • 若r(A)

• 零向量是任意一个向量组的线性组合(取表出系数全为0,K=0K=\bold{0}K=0,则0=∑i=1s0αi\bold{0}=\sum\limits_{i=1}^{s}0\alpha_{i}0=i=1∑s​0αi​)

n维单位向量

• εi=(c1,⋯,ci,⋯,cn)=(0,⋯,1,⋯,0),其中ck={1,(k=i)0,(k≠i)k=1,2,⋯,ni=1,2,⋯,n\varepsilon_{i}=(c_1,\cdots,c_{i},\cdots,c_n)=(0,\cdots,1,\cdots,0), \\其中c_k=\begin{cases} 1,&(k=i)\\ 0,&(k\ne{i}) \end{cases} k=1,2,\cdots,n \\i=1,2,\cdots,n εi​=(c1​,⋯,ci​,⋯,cn​)=(0,⋯,1,⋯,0),其中ck​={1,0,​(k=i)(k=i)​k=1,2,⋯,ni=1,2,⋯,n

  • 任意一个向量α=(a1,a2,⋯,an)=∑i=1naiεi\alpha=(a_1,a_2,\cdots{,a_n})=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}\varepsilon_{i}α=(a1​,a2​,⋯,an​)=i=1∑n​ai​εi​

向量组线性相关性@无关性🎈

• 讨论完向量的向量组的线性表出问题,还有向量组的线性相关性问题

• 给定向量组A=α1,α2,⋯,αsA=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sA=α1​,α2​,⋯,αs​,若存在s个不全为0的数k1,k2,⋯,ksk_1,k_2,\cdots,k_sk1​,k2​,⋯,ks​,使得:

  • (α1,α2,⋯,αs)(k1k2⋮ks)=∑i=1skiαi=0则称向量组A线性相关,否则线性无关(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s) \begin{pmatrix} k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{s} \\ \end{pmatrix} =\sum\limits_{i=1}^{s}{k_i\alpha_i}=\bold0 \\ 则称向量组A线性相关,否则线性无关 (α1​,α2​,⋯,αs​)​k1​k2​⋮ks​​​=i=1∑s​ki​αi​=0则称向量组A线性相关,否则线性无关

• 向量组A线性无关还可以描述为:

  • 使得∑i=1skiαi=0\sum\limits_{i=1}^{s}{k_i\alpha_i}=\bold0i=1∑s​ki​αi​=0成立的s个数k1,k2,⋯,ksk_1,k_2,\cdots,k_sk1​,k2​,⋯,ks​全为0

• 对于单个向量构成的向量组A=α1A=\alpha_1A=α1​,若要满足A线性相关,即存在k≠0k\ne{0}k=0使得kα1=0k\alpha_1=0kα1​=0,只有当α1=0\alpha_1=\bold{0}α1​=0成立

  • 而单个非零向量构成的向量组线性无关

• n维单位向量构成的向量组线性无关:

  • ∑i=1nkiεi=(k1,k2,⋯,ks)只有当k1=k2=⋯=ks=0能使上式等于零向量\sum\limits_{i=1}^{n}k_{i}\varepsilon_{i}=(k_1,k_2,\cdots,k_s) \\只有当k_1=k_2=\cdots=k_s=0能使上式等于零向量 i=1∑n​ki​εi​=(k1​,k2​,⋯,ks​)只有当k1​=k2​=⋯=ks​=0能使上式等于零向量

• 对于包含相同数量的向量的向量组,如果向量间的独立性越强,说明向量组的无用信息越少(无关性程度越高)

• 向量组A=α1,α2,⋯,αsA=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sA=α1​,α2​,⋯,αs​线性相关的充要条件是:线性方程组Ax=0Ax=\bold0Ax=0有非零解(和线性表出类似)

  • 若r(A)=sr(A)=sr(A)=s则A线性无关
  • 若r(A)

例

• 矩阵A的列向量组:

  • α1=(3,−1,3,1)Tα1=(4,−2,5,4)Tα1=(2,−1,4,−1)T将A表示为列向量的分块矩阵:A=(α1,α2,α3)=(242−1−2−135414−1)矩阵A对应的列向量组之间的线性相关性取决于:齐次线性方程组Ax=0是否有非零解.将A通过初等变换化为包含r阶单位阵的行简化阶梯形矩阵D,(r为D的非零行的行数):D=D(A)=(10301−1000000)\alpha_1=(3,-1,3,1)^T \\ \alpha_1=(4,-2,5,4)^T \\ \alpha_1=(2,-1,4,-1)^T \\将A表示为列向量的分块矩阵:A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) =\begin{pmatrix} 2& 4& 2 \\ -1& -2& -1 \\ 3& 5& 4 \\ 1& 4& -1 \\ \end{pmatrix} \\ 矩阵A对应的列向量组之间的线性相关性取决于: \\齐次线性方程组Ax=\bold{0}是否有非零解. \\将A通过初等变换化为包含r阶单位阵的行简化阶梯形矩阵D, \\(r为D的非零行的行数):\\ D=D(A)=\begin{pmatrix} 1& 0& 3 \\ 0& 1& -1 \\ 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0 \\ \end{pmatrix} α1​=(3,−1,3,1)Tα1​=(4,−2,5,4)Tα1​=(2,−1,4,−1)T将A表示为列向量的分块矩阵:A=(α1​,α2​,α3​)=​2−131​4−254​2−14−1​​矩阵A对应的列向量组之间的线性相关性取决于:齐次线性方程组Ax=0是否有非零解.将A通过初等变换化为包含r阶单位阵的行简化阶梯形矩阵D,(r为D的非零行的行数):D=D(A)=​1000​0100​3−100​​

  • Dx=0和Ax=0是同解的方程组由于r(D)=r(A)=2

• 设包含s个n维列向量组Φ=α1,α2,⋯,αs\Phi=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sΦ=α1​,α2​,⋯,αs​

  • Φ\PhiΦ对应的矩阵An×s=(Φ)=(α1,α2,⋯,αs)A_{n\times{s}}=(\Phi)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)An×s​=(Φ)=(α1​,α2​,⋯,αs​)

  • αj=(a1ja2j⋮anj),j=1,2,⋯,s\alpha_j =\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{nj} \\ \end{pmatrix},j=1,2,\cdots,s αj​=​a1j​a2j​⋮anj​​​,j=1,2,⋯,s

  • 若Φ\PhiΦ内包含的向量个数s大于向量的维数(每个向量内含有的元素数)n,即s>ns>ns>n,则Φ\PhiΦ线性相关

• 对于方阵(s=n)

  • Φ\PhiΦ线性相关当且仅当∣A∣=0|A|=0∣A∣=0(即方阵A不满秩,r(A)

例

• 设某一个范德蒙行列式

  • ∣V∣=∣111⋯1α1α2α3⋯αnα12α22α32⋯αn2⋮⋮⋮⋮α1n−1α2n−1α3n−1⋯αnn−1∣n记βj=(1αiαi2⋮αin−1)j=1,2,⋯,n∣V∣=∣β1,β2,⋯,βn∣其中αi,(i=1,2,⋯,n)互不相等则∣V∣≠0,从而向量组Φ=β1,β2,⋯,βn线性无关|V| =\begin{vmatrix} 1 &1 &1 &\cdots &1 \\ \alpha_{1}&\alpha_{2}&\alpha_{3}&\cdots &\alpha_{n} \\ \alpha_{1}^{2}&\alpha_{2}^{2}&\alpha_{3}^{2}&\cdots &\alpha_{n}^{2} \\ \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots \\ \alpha_{1}^{n-1}&\alpha_{2}^{n-1}&\alpha_{3}^{n-1}&\cdots &\alpha_{n}^{n-1} \\ \end{vmatrix}_{n} \\ 记\beta_j =\begin{pmatrix} 1 \\ \alpha_{i} \\ \alpha_{i}^{2} \\ \vdots \\ \alpha_{i}^{n-1}\\ \end{pmatrix} j=1,2,\cdots,n \\ |V|=|\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n| \\其中\alpha_i,(i=1,2,\cdots,n)互不相等 \\则|V|\neq{0},从而向量组\Phi=\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n线性无关 ∣V∣=​1α1​α12​⋮α1n−1​​1α2​α22​⋮α2n−1​​1α3​α32​⋮α3n−1​​⋯⋯⋯⋯​1αn​αn2​⋮αnn−1​​​n​记βj​=​1αi​αi2​⋮αin−1​​​j=1,2,⋯,n∣V∣=∣β1​,β2​,⋯,βn​∣其中αi​,(i=1,2,⋯,n)互不相等则∣V∣=0,从而向量组Φ=β1​,β2​,⋯,βn​线性无关

定理

• 设向量组Φ=αi=a1i,a2i,⋯,ani(i=1,2,⋯,s)\Phi=\alpha_i=a_{1i},a_{2i},\cdots,a_{ni}(i=1,2,\cdots,s)Φ=αi​=a1i​,a2i​,⋯,ani​(i=1,2,⋯,s)

1

• 记向量组Φ\PhiΦ构成的矩阵A=(Φ)=(αi)(i=1,2⋯,s)A=(\Phi)=(\alpha_i)(i=1,2\cdots,s)A=(Φ)=(αi​)(i=1,2⋯,s);
  • 对于A是一般矩阵时:Φ\PhiΦ是否线性相关取决于Ax=0Ax=0Ax=0是否由非零解,即是满足:秩小于未知量个数(r(A)
  • 当r(A)=sr(A)=sr(A)=s,Φ\PhiΦ线性无关
  • 但r(A)
  • 如果n

2

• 对αi(i=1,2,⋯,s)\alpha_{i}(i=1,2,\cdots,s)αi​(i=1,2,⋯,s)的每个向量添加一个分量,得到Ψ=βi=(a1i,a2i,⋯,ani,an+1,i)T(i=1,2,⋯,s)\Psi=\beta_i=(a_{1i},a_{2i},\cdots,a_{ni},a_{n+1,i})^T(i=1,2,\cdots,s)Ψ=βi​=(a1i​,a2i​,⋯,ani​,an+1,i​)T(i=1,2,⋯,s)

• 若向量组αi\alpha_iαi​线性无关,则βi\beta_iβi​也线性无关

  • 从方程组解和直观理解:

    • 向量组内向量的维数n代表线性方程组的约束条件(约束方程)的数目
    • 对原向量组中每个向量增加一维,相当于增加一个约束方程
    • 向量组是否线性相关取决于方程组Ax=0Ax=\bold{0}Ax=0是否有非零解,其中A=(Φ)其中A=(\Phi)其中A=(Φ)
    • n+1维向量组Bx=0Bx=0Bx=0,其中B=(Ψ)B=(\Psi)B=(Ψ)
    • 约束方程越多,方程组有非零解的可能性越小,对应向量组线性相关可能性越小
    • 而原方程已经线性无关(Ax=0Ax=0Ax=0无解),那么Bx=0B{x}=0Bx=0更不可能有解,即Ψ\PsiΨ线性无关

  • 证明

    • 由于Φ\PhiΦ线性无关,则Ax=0Ax=0Ax=0只有零解
    • 而Ψx=0\Psi{x}=0Ψx=0的是Ax=0Ax=0Ax=0的基础上再增加一个约束方程
    • 所以Ψx=0\Psi{x}=0Ψx=0的解一定是Ax=0Ax=0Ax=0的解
      • 如果Ψx=0\Psi{x}=0Ψx=0存在非零解ξ\xiξ,那么ξ\xiξ一定也是Ax=0Ax=0Ax=0的解
      • 而Ax=0Ax=0Ax=0的解只有零解,从而ξ\xiξ只可能是零解(否则发生矛盾)

• 类似的

  • 如果γi\gamma_iγi​是由αi\alpha_iαi​中每个向量增加k⩾0k\geqslant{0}k⩾0个分量,则由αi\alpha_iαi​线性无关可以推出γi\gamma_iγi​线性无关(i=1,2,⋯,s)(i=1,2,\cdots,s)(i=1,2,⋯,s)
  • 如果δi\delta_iδi​是由αi\alpha_iαi​中每个向量减少k⩾0k\geqslant{0}k⩾0个分量,则由αi\alpha_iαi​线性相关可以推出δi\delta_iδi​线性相关(i=1,2,⋯,s)(i=1,2,\cdots,s)(i=1,2,⋯,s)

向量组本身向量间相互关系

• 向量组Φ=α1,α2,⋯,αs\Phi=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sΦ=α1​,α2​,⋯,αs​线性相关的充要条件是:至少有一个向量αk,αk∈Φ\alpha_k,\alpha_k\in\Phiαk​,αk​∈Φ能够被其余s-1个向量表示

  • 表出系数可以为全0
  • 包含零向量的向量组一定线性相关

• 证明:

  • 必要性:

    • 若Φ\PhiΦ线性相关,则存在不全为0的k1,⋯,ksk_1,\cdots,k_sk1​,⋯,ks​使得∑i=1nkiαi=0\sum_{i=1}^{n}k_i\alpha_{i}=0∑i=1n​ki​αi​=0

    • 假设kp≠0,p∈{1,2,⋯,n}k_p\ne{0},p\in\{1,2,\cdots,n\}kp​=0,p∈{1,2,⋯,n},则

      • αp=−1kp∑i=1,i≠pkiαi\alpha_{p}=-\frac{1}{k_p}\sum\limits_{i=1,i\neq{p}}k_i\alpha_i αp​=−kp​1​i=1,i=p∑​ki​αi​

  • 充分性:

    • 如果Φ\PhiΦ的某个向量可以别其他s−1s-1s−1个向量表示
      • 设αp=∑i=1,i≠pkiαi\alpha_{p}=\sum\limits_{i=1,i\ne{p}}k_i\alpha_iαp​=i=1,i=p∑​ki​αi​
      • 则(∑i=1,i≠pkiαi)+(−1)×αp=0(\sum\limits_{i=1,i\ne{p}}k_i\alpha_i)+(-1)\times\alpha_p=0(i=1,i=p∑​ki​αi​)+(−1)×αp​=0
      • 也就是说当kp=−1k_p=-1kp​=−1,总存在不全为0的k1,⋯,ksk_1,\cdots,k_sk1​,⋯,ks​使得∑i=1skiαi=0\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\alpha_i=0i=1∑s​ki​αi​=0,Φ\PhiΦ线性相关

• 从该结论可以推出另一个结论:

  • 任意一个包含零向量的向量组总是线性相关的

    • 假设原向量组为Φ=α1,α2,⋯,αs\Phi=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sΦ=α1​,α2​,⋯,αs​,至少存在ki=0,(i=1,2,⋯,s)k_i=0,(i=1,2,\cdots,s)ki​=0,(i=1,2,⋯,s)使得

      • ∑i=1skiαi=0\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\alpha_i=0i=1∑s​ki​αi​=0
      • 取αs+1=0\alpha_{s+1}=\bold{0}αs+1​=0

    • 由于ks+10=0,∀ks+1∈Rk_{s+1}\bold{0}=0,\forall{k_{s+1}\in{R}}ks+1​0=0,∀ks+1​∈R,所以

      • ∑i=1s+1kiαi=(∑i=1skiαi)+ks+10=0+0=0\sum\limits_{i=1}^{s+1}k_i\alpha_i =(\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\alpha_i)+k_{s+1}\bold{0} =\bold{0}+\bold{0}=\bold{0} i=1∑s+1​ki​αi​=(i=1∑s​ki​αi​)+ks+1​0=0+0=0

    • 所以包含零向量的向量组线性相关

  • 对于只含有2个向量α1,α2\alpha_1,\alpha_2α1​,α2​的向量组,若两个向量成比例,则该向量组线性相关

  • 该结论的否命题也是成立的,即

    • 向量组Φ\PhiΦ(s>1)线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不能被其他s−1s-1s−1个向量所组成的向量组线性表示

• 若向量组Φ=α1,α2,⋯,αs\Phi=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_sΦ=α1​,α2​,⋯,αs​线性无关,而向量组Ψ=α1,α2,⋯,αs,β\Psi=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\betaΨ=α1​,α2​,⋯,αs​,β线性相关

  • 则β\betaβ可以由向量Φ\PhiΦ线性表示,且表示法唯一.
  • 证明:
    • 由于Ψ\PsiΨ线性相关,则存在k1,⋯,ks,ks+1k_1,\cdots,k_s,k_{s+1}k1​,⋯,ks​,ks+1​,使得(∑i=1skiαi)+ks+1β=0(\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\alpha_i)+k_{s+1}\beta=0(i=1∑s​ki​αi​)+ks+1​β=0
    • case1:若ks+1=0k_{s+1}=0ks+1​=0则(∑i=1skiαi)+ks+1β=0(\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\alpha_i)+k_{s+1}\beta=0(i=1∑s​ki​αi​)+ks+1​β=0可以推出∑i=1skiαi=0\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\alpha_i=0i=1∑s​ki​αi​=0
      • 而由Φ\PhiΦ线性无关知,只有k1,⋯,ks=0k_1,\cdots,k_s=0k1​,⋯,ks​=0时,有∑i=1skiαi=0\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\alpha_i=0i=1∑s​ki​αi​=0成立
      • 从而k1,⋯,ks,ks+1=0k_1,\cdots,k_s,k_{s+1}=0k1​,⋯,ks​,ks+1​=0,Ψ\PsiΨ线性无关,和条件矛盾,从而ks+1≠0k_{s+1}\ne{0}ks+1​=0
    • case2:ks+1≠0k_{s+1}\neq{0}ks+1​=0,β=−1ks+1∑i=1skiαi\beta=-\frac{1}{k_{s+1}}\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\alpha_iβ=−ks+1​1​i=1∑s​ki​αi​
    • 再证明β\betaβ的表示法唯一性
      • 设β\betaβ可以被表示为β=∑i=1skiαi=∑i=1sliαi\beta=\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\alpha_i=\sum\limits_{i=1}^{s}l_i\alpha_iβ=i=1∑s​ki​αi​=i=1∑s​li​αi​
      • 对两种表示方法做差:∑i=1s(ki−li)αi=0\sum\limits_{i=1}^{s}(k_i-l_i)\alpha_i=\bold0i=1∑s​(ki​−li​)αi​=0
      • 而由Φ\PhiΦ线性无关知,只有ki−li=0(i=1,2,⋯,s)k_i-l_i=0(i=1,2,\cdots,s)ki​−li​=0(i=1,2,⋯,s)时,有∑i=1skiαi=0\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\alpha_i=0i=1∑s​ki​αi​=0成立
      • 从而ki=li(i=1,2⋯,n)k_i=l_i(i=1,2\cdots,n)ki​=li​(i=1,2⋯,n)
      • 所以表示法唯一

• 如果向量组Φ\PhiΦ中的部分向量构成的子向量Ψ\PsiΨ组线性相关,则Φ\PhiΦ也线性相关.

  • 设Φ=α1,⋯,αs\Phi=\alpha_1,\cdots,\alpha_{s}Φ=α1​,⋯,αs​,经过排序,Ψ=α1,⋯,αr(r⩽s)\Psi=\alpha_1,\cdots,\alpha_r(r\leqslant{s})Ψ=α1​,⋯,αr​(r⩽s)线性先关
    • 存在不全为0的k1,⋯,krk_1,\cdots,k_rk1​,⋯,kr​使得∑i=1rkiαi=0\sum\limits_{i=1}^{r}k_i\alpha_i=0i=1∑r​ki​αi​=0
    • 若r
    • 只需要令kr+1,⋯,ks=0k_{r+1},\cdots,k_{s}=0kr+1​,⋯,ks​=0,使得
      • (∑i=1rkiαi)+∑i=r+1skiαi=0(\sum\limits_{i=1}^{r}k_i\alpha_i)+\sum\limits_{i=r+1}^{s}k_i\alpha_i=0(i=1∑r​ki​αi​)+i=r+1∑s​ki​αi​=0
      • 在序列k1,⋯,kr,⋯,ks=k1,⋯,kr,0,⋯,0k_1,\cdots,k_r,\cdots,k_s=k_1,\cdots,k_r,0,\cdots,0k1​,⋯,kr​,⋯,ks​=k1​,⋯,kr​,0,⋯,0中,至少存在不全为0的k1,⋯,krk_1,\cdots,k_rk1​,⋯,kr​使得∑i=1skiαi=0\sum\limits_{i=1}^{s}k_i\alpha_i=0i=1∑s​ki​αi​=0
  • 若r=sr=sr=s,则Φ=Ψ\Phi=\PsiΦ=Ψ,显然Φ\PhiΦ因Ψ\PsiΨ线性相关而线性相关
• 从逆否命题的角度,等价的描述这个规律:
  • 如果Φ\PhiΦ线性无关,则Ψ\PsiΨ也线性无关(Ψ是Φ\Psi是\PhiΨ是Φ的部分向量组,Ψ\PsiΨ非空)
  • 线性无关的向量组中一定没有成比例2个向量
  • 含有成比例的两个向量的向量组一定是线性相关的向量组

2个向量组间的表示关系

向量组的相互表出@记号说明🎈

• 设有两个同维向量组Φ=α1,⋯,αs\Phi=\alpha_1,\cdots,\alpha_sΦ=α1​,⋯,αs​,Ψ=β1,⋯,βt\Psi=\beta_1,\cdots,\beta_{t}Ψ=β1​,⋯,βt​

• 若Ψ\PsiΨ中的每个向量∀β,β∈Ψ\forall\beta,\beta\in\Psi∀β,β∈Ψ都可以被Φ\PhiΦ线性表示,则称向量组Ψ\PsiΨ可以有Φ\PhiΦ线性表示

• 若Ψ\PsiΨ和Φ\PhiΦ可以相互线性表示,则称Ψ≅Φ\Psi\cong{\Phi}Ψ≅Φ,即两个向量组等价

  • 向量组等价的性质:
    • 反身性:每个向量组和自身等价Φ≅Φ\Phi\cong\PhiΦ≅Φ
    • 对称性:Φ≅Ψ⇒Ψ≅Φ\Phi\cong\Psi\Rightarrow{\Psi\cong{\Phi}}Φ≅Ψ⇒Ψ≅Φ
    • 传递性:Φ≅Ψ,Ψ≅Θ⇒Φ≅Θ\Phi\cong\Psi,\Psi\cong\Theta\Rightarrow{\Phi\cong\Theta}Φ≅Ψ,Ψ≅Θ⇒Φ≅Θ

• 若Φ\PhiΦ可以由Ψ\PsiΨ线性表示,则βi=∑j=1skjiαj(i=1,2,⋯,t)\beta_i=\sum\limits_{j=1}^{s}k_{ji}\alpha_j(i=1,2,\cdots,t)βi​=j=1∑s​kji​αj​(i=1,2,⋯,t)

  • 记向量组构成的分块矩阵:

    • A=(Φ)=(α1,⋯,αs)A=(\Phi)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)A=(Φ)=(α1​,⋯,αs​),

    • B=(Ψ)=(β1,⋯,βt)B=(\Psi)=(\beta_1,\cdots,\beta_{t})B=(Ψ)=(β1​,⋯,βt​)

    • K=(kij)s×t=(k1,⋯,kt)K=(k_{ij})_{s\times{t}}=(k_1,\cdots,k_t)K=(kij​)s×t​=(k1​,⋯,kt​),K的列向量记为ki,规格为s×1,(i=1,2,⋯,t)k_i,规格为{s\times{1}},(i=1,2,\cdots,t)ki​,规格为s×1,(i=1,2,⋯,t)

      • ki=(k1i,k2i,⋯,ksi)T=(k1ik2i⋮ksi)k_i=(k_{1i},k_{2i},\cdots,k_{si})^T =\begin{pmatrix} k_{1i} \\ k_{2i} \\ \vdots \\ k_{si} \\ \end{pmatrix} ki​=(k1i​,k2i​,⋯,ksi​)T=​k1i​k2i​⋮ksi​​​

      • kik_iki​是向量βi\beta_iβi​用Φ=α1,⋯,αs\Phi=\alpha_1,\cdots,\alpha_sΦ=α1​,⋯,αs​线性表示的表出系数向量

  • 向量Ψ\PsiΨ可以用Φ\PhiΦ表示可以写作方程组

    • B=AKB=AKB=AK

    • βi=(α1,α2,⋯,αs)(k1ik2i⋮kni)\beta_i=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s) \begin{pmatrix} k_{1i} \\ k_{2i} \\ \vdots \\ k_{ni} \\ \end{pmatrix} βi​=(α1​,α2​,⋯,αs​)​k1i​k2i​⋮kni​​​

被表出向量组的线性相关性

• 下面的结论分别指出Ψ\PsiΨ分别在什么情况下是线性相关,线性无关的.

• 符号说明(参考上一节中的定义)

  • A=(Φ)=(α1,⋯,αs)A=(\Phi)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)A=(Φ)=(α1​,⋯,αs​),
  • B=(Ψ)=(β1,⋯,βt)B=(\Psi)=(\beta_1,\cdots,\beta_{t})B=(Ψ)=(β1​,⋯,βt​)

• 若Ψ\PsiΨ可以被Φ\PhiΦ线性表示(B=AKB=AKB=AK成立),建立齐次方程组Kx=0Kx=0Kx=0(K为Φ\PhiΦ表示Ψ\PsiΨ的表出系数矩阵)

  • Note:仅有B=AKB=AKB=AK无法直接断定
  • 若r(K)
  • 证明:
    • 矩阵K规格为s×ts\times{t}s×t,
    • r(K)非零解记为ξ\xiξ,则Kξ=0K\xi=\bold0Kξ=0
    • 对表出方程B=AKB=AKB=AK两边同时右乘ξ\xiξ,则Bξ=AKξB\xi=AK\xiBξ=AKξ,即Bξ=A(Kξ)=A0=0B\xi=A(K\xi)=A\bold0=\bold0Bξ=A(Kξ)=A0=0
    • B=(Ψ)B=(\Psi)B=(Ψ),Ψ=β1,β2,⋯,βs\Psi=\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_sΨ=β1​,β2​,⋯,βs​,由向量组线性相关的定义可知,Ψ\PsiΨ线性相关.
• 若r(K)=tr(K)=tr(K)=t且Φ\PhiΦ线性无关,则Ψ\PsiΨ也线性无关
  • Ψ\PsiΨ线性相关取决于齐次线性方程组By=0By=\bold0By=0是否由非零解
    • 如果只有零解(y=0y=0y=0),说明Ψ\PsiΨ线性无关
  • 由B=AKB=AKB=AK,带入By=0By=0By=0,得AKy=0AKy=\bold0AKy=0,(问题转换为讨论AKy=0AKy=0AKy=0)是否有非零解
  • 由于Φ\PhiΦ线性无关,Ax=0Ax=0Ax=0只有当x=0x=\bold0x=0时成立(唯一解)
    • 因此KyKyKy作为Ax=0Ax=0Ax=0的解,也就只可能是零向量0\bold00(即Ky=0Ky=\bold{0}Ky=0)
    • 又由r(K)=tr(K)=tr(K)=t,则齐次线性方程Ky=0Ky=0Ky=0只有零解(y=0y=\bold{0}y=0)
    • 所以原方程By=0By=0By=0只有零解,因此Ψ\PsiΨ线性无关