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• 理论基础
• 幂函数实例
• 三角函数实例

理论基础

  分部积分法英文叫做Integration by parts。在中国的数学教材是先学分部积分法，再学换元法。这种教材我就要吐槽了，学习应该由易到难，由易到难，一个不好听的理由就是，最起码大部分人能把容易的掌握了，这样学生的平均水平不就上去了吗？因为我是觉得分部积分法比换元法要难的，因为需要凑积分。好了，不吐槽了，分部积分法最经典的例子是这个：
∫sec⁡3x+sec⁡xtan⁡2udu=sec⁡utan⁡u+C\int \sec^3x+\sec x\tan^2u\ du=\sec u\tan u +C ∫sec3x+secxtan2u du=secutanu+C
  这种积分用换元法很难计算出来，所以得用分部积分法。分部积分法是从导数的乘积法则来的，推导过程如下：
ddxf(x)g(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)f(x)g(x)=∫f′(x)g(x)dx+∫f(x)g′(x)dx∫f(x)g′(x)dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x)dx∫udv=uv−∫vdu\frac{d}{dx}f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ f(x)g(x)=\int f'(x)g(x)dx+\int f(x)g'(x)dx\\ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)- \int f'(x)g(x)dx\\ \int udv= uv- \int vdu dxd​f(x)g(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)f(x)g(x)=∫f′(x)g(x)dx+∫f(x)g′(x)dx∫f(x)g′(x)dx=f(x)g(x)−∫f′(x)g(x)dx∫udv=uv−∫vdu

幂函数实例

  最最经典的例子是∫xln⁡xdx\int x\ln xdx∫xlnxdx，这个就是确定哪个是uuu,哪个是vvv。这个例子我在好几本数学教材里看见过了。明显xdx=dvxdx=dvxdx=dv,所以v=12x2v=\frac12x^2v=21​x2,所以可以这么求：
∫xln⁡xdx=∫ln⁡xxdx=∫ln⁡xd(12x2)=ln⁡x⋅12x2−∫12x2dln⁡x=ln⁡x⋅x22−∫12x21xdx=x2ln⁡x2−∫12xdx=x2ln⁡x2−x24+c\int x\ln xdx\\ =\int \ln xxdx\\ =\int\ln x d(\frac12x^2)\\ =\ln x\cdot \frac12x^2-\int\frac12x^2d \ln x\\ =\frac{\ln x\cdot x^2}2-\int\frac12x^2\frac1xdx\\ =\frac{x^2\ln x}2-\int\frac12xdx\\ =\frac{x^2\ln x}2-\frac{x^2}4+c ∫xlnxdx=∫lnxxdx=∫lnxd(21​x2)=lnx⋅21​x2−∫21​x2dlnx=2lnx⋅x2​−∫21​x2x1​dx=2x2lnx​−∫21​xdx=2x2lnx​−4x2​+c
  所以分部积分法也叫凑积分法，需要巧妙地凑出来。上面这个例子就是把∫xdx\int xdx∫xdx凑成了∫d(12x2)\int d(\frac1 2x^2)∫d(21​x2),然后恰好d(ln⁡x)=1xdxd(\ln x)=\frac1xdxd(lnx)=x1​dx,所以很巧地除掉了一个x。

三角函数实例

  三角函数的积分，其实也是蛮巧妙的积分过程。我举个比较难，但是比较经典的例子，也是多本数学教材里出现的，∫sec⁡3xdx\int \sec^3xdx∫sec3xdx的计算：
u=sec⁡xdv=sec⁡2xdx∫sec⁡3xdx=∫uvdx=∫udv=uv−∫vduu=\sec x\\ dv=\sec^2xdx\\ \int \sec^3xdx=\int uvdx=\int udv\\ =uv -\int vdu\\ u=secxdv=sec2xdx∫sec3xdx=∫uvdx=∫udv=uv−∫vdu
  这里就需要我们熟记公式了，ddxtan⁡x=sec⁡2x\frac d{dx}\tan x=\sec^2xdxd​tanx=sec2x,所以v=tan⁡xv=\tan xv=tanx.除了这个公式，还有个公式也是很重要的,就是下面这个：
ddxsec⁡x=sec⁡xtan⁡x\frac d {dx}\sec x=\sec x\tan x dxd​secx=secxtanx
于是我们接着计算下去：
uv−∫vdu=sec⁡xtan⁡x−∫tan⁡xd(sec⁡x)=sec⁡xtan⁡x−∫tan⁡xsec⁡xtan⁡xdx=sec⁡xtan⁡x−∫tan⁡2xsec⁡xdxuv -\int vdu\\ =\sec x\tan x-\int \tan xd(\sec x)\\ =\sec x\tan x-\int \tan x\sec x\tan xdx\\ =\sec x\tan x-\int \tan^2 x\sec xdx\\ uv−∫vdu=secxtanx−∫tanxd(secx)=secxtanx−∫tanxsecxtanxdx=secxtanx−∫tan2xsecxdx
  到这，是不是没法继续了啊？分部之后更加复杂了耶。这就巧在需要用下面这个三角恒等式：
tan⁡2x=sec⁡2x−1\tan^2 x=\sec^2x-1 tan2x=sec2x−1
  有了这个，继续计算下去：
sec⁡xtan⁡x−∫tan⁡2xsec⁡xdx=sec⁡xtan⁡x−∫(sec⁡2x−1)sec⁡xdx=sec⁡xtan⁡x−∫sec⁡3xdx+∫sec⁡xdx⇒∫sec⁡3xdx=sec⁡xtan⁡x−∫sec⁡3xdx+∫sec⁡xdx⇒2∫sec⁡3xdx=sec⁡xtan⁡x+∫sec⁡xdx\sec x\tan x-\int \tan^2 x\sec xdx\\ =\sec x\tan x-\int(\sec^2x-1)\sec xdx \\ =\sec x\tan x-\int\sec^3xdx +\int\sec xdx\\ \Rightarrow \int \sec^3xdx=\sec x\tan x-\int\sec^3xdx +\int\sec xdx\\ \Rightarrow 2\int \sec^3xdx=\sec x\tan x +\int\sec xdx\\ secxtanx−∫tan2xsecxdx=secxtanx−∫(sec2x−1)secxdx=secxtanx−∫sec3xdx+∫secxdx⇒∫sec3xdx=secxtanx−∫sec3xdx+∫secxdx⇒2∫sec3xdx=secxtanx+∫secxdx
  那么我们再根据积分表里的公式：
∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int\sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C ∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C
  所以结果就是：
2∫sec⁡3xdx=sec⁡xtan⁡x+ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C∫sec⁡3xdx=sec⁡xtan⁡x2+ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣2+C2\int \sec^3xdx=\sec x\tan x +\ln |\sec x+\tan x|+C\\ \int \sec^3xdx=\frac{\sec x\tan x}2 +\frac{\ln |\sec x+\tan x|}2+C\\ 2∫sec3xdx=secxtanx+ln∣secx+tanx∣+C∫sec3xdx=2secxtanx​+2ln∣secx+tanx∣​+C
  三角函数是比较难的，因为三角恒等式比较多，然后变换又需要各种技巧，也是考试考研的重点。