【泛函分析】第一纲集和第二纲集
第一纲集和第二纲集
定义. 设 XXX 是距离空间, 集合 A⊂XA\subset XA⊂X, 若 AAA 可以表示为有限或可列个疏朗集的并, 则称 AAA 是第一纲集; 不是第一纲集的集合是第二纲集.
Baire纲定理: 完备的距离空间是第二纲集
证明:
用反证法, 若 XXX 是第一纲集, 则 XXX 可以表示为有限或可列个疏朗集的并, 设
X=⋃n=1∞AnX = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_{n} X=n=1⋃∞An
其中 {An}\{A_{n}\}{An} 是一列疏朗集. 设 SSS 是任意闭球, 由于 A1A_{1}A1 是疏朗集, 所以存在闭球 B1⊂SB_{1}\subset SB1⊂S, B1∩A1=∅B_{1}\cap A_{1}=\emptyB1∩A1=∅, 取 B1B_{1}B1 的一个满足半径小于等于 111 的子球作为 S1S_{1}S1, 由于 A2A_{2}A2 是疏朗集, 所以存在闭球 B2⊂S1B_{2}\subset S_{1}B2⊂S1, B2∩A2=∅B_{2}\cap A_{2}=\emptyB2∩A2=∅, 取 B2B_{2}B2 的一个满足半径小于等于 12\frac{1}{2}21 的子球作为 S2S_{2}S2, 这样进行下去, 得到一列闭球 {Sn}\{S_{n}\}{Sn}, 满足
Sn⊆Sn−1,Sn∩Am=∅,∀m,n∈N+,m≤nS_{n}\subseteq S_{n-1}, S_{n}\cap A_{m}=\empty, \forall m,n\in \mathbb{N}^{+}, m\leq n Sn⊆Sn−1,Sn∩Am=∅,∀m,n∈N+,m≤n
且 limn→∞rn=limn→∞12n−1\lim\limits_{n\rightarrow \infty}r_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2^{n-1}}n→∞limrn=n→∞lim2n−11 (rnr_{n}rn 为 SnS_{n}Sn 的半径), 由于 XXX 是完备空间, 由闭球套定理, 存在唯一的 x∈Xx\in Xx∈X, 且 x∈⋂n=1∞Snx\in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}S_{n}x∈n=1⋂∞Sn. 由于 Sn∩An=∅S_{n}\cap A_{n}=\emptySn∩An=∅, 所以 x∉Anx\notin A_{n}x∈/An, ∀n∈N+\forall n\in \mathbb{N}^{+}∀n∈N+, 进而 x∉Xx\notin Xx∈/X, 矛盾.