矩阵乘法

文章目录

• 矩阵乘法
• • 引入
  • 例题
  • • 斐波那契前 n 项和
    • • 思路
      • 代码
    • 佳佳的斐波那契
    • • 思路
      • 代码

引入

由于线性递推式可以表示成矩阵乘法的形式，也通常用矩阵快速幂来求线性递推数列的某一项。
利用结合律，矩阵乘法可以利用 快速幂 的思想来优化。

例题

斐波那契前 n 项和

大家都知道 Fibonacci 数列吧，f1=1,f2=1,f3=2,f4=3,…,fn=fn−1+fn−2。

现在问题很简单，输入 n 和 m，求 fn 的前 n 项和 Snmodm。

输入格式
共一行，包含两个整数 n 和 m。

输出格式
输出前 n 项和 Snmodm 的值。

数据范围
1≤n≤2000000000
,
1≤m≤1000000010
输入样例：
5 1000
输出样例：
12

思路

已知递推公式Sn+1=Sn+fn+1S_{n + 1} = S_n + f_{n + 1}Sn+1​=Sn​+fn+1​,对于求Sn+1S_{n + 1}Sn+1​我们要知道Sn和fn+1S_n和f_{n + 1}Sn​和fn+1​。
构造矩阵Fn=[fn,fn+1,Sn]F_n = [f_n, f_{n + 1}, S_n]Fn​=[fn​,fn+1​,Sn​]。
对于Fn+1=[fn+1,fn+2,Sn+1]F_{n + 1} = [f_{n + 1}, f_{n + 2}, S_{n + 1}]Fn+1​=[fn+1​,fn+2​,Sn+1​]等于FnF_nFn​与矩阵A=[[0,1,0],[1,1,1],[0,0,1]]A = [[0, 1, 0], [1, 1, 1], [0, 0, 1]]A=[[0,1,0],[1,1,1],[0,0,1]]相乘，
对于Fn=F1∗An−1F_n = F_1 * A^{n - 1}Fn​=F1​∗An−1

代码

from copy import deepcopy
N = 3
F1 = [[0] * N for _ in range(N)]
F1[0] = [1, 1, 1]
A = [[0, 1, 0], [1, 1, 1], [0, 0, 1]]def mul(a, b) :tmp = [[0] * N for _ in range(N)]for i in range(N) : # i行for j in range(N) : # j列for k in range(N) :tmp[i][j] = (tmp[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % mreturn tmpdef qmi(a, k) :res = deepcopy(F1)while k :if k & 1 :res = mul(res, a)k >>= 1a = mul(a, a)return res
n, m = map(int, input().split())
res = qmi(A, n - 1)
print(res[0][2])

佳佳的斐波那契

佳佳对数学，尤其对数列十分感兴趣。

在研究完 Fibonacci 数列后，他创造出许多稀奇古怪的数列。

例如用 S(n) 表示 Fibonacci 前 n项和 modm
的值，即 S(n)=(F1+F2+…+Fn)modm，其中 F1=F2=1,Fi=Fi−1+Fi−2。

可这对佳佳来说还是小菜一碟。

终于，她找到了一个自己解决不了的问题。

用 T(n)=(F1+2F2+3F3+…+nFn)modm 表示 Fibonacci 数列前 n 项变形后的和 modm 的值。

现在佳佳告诉你了一个 n 和 m，请求出 T(n) 的值。

输入格式
共一行，包含两个整数 n 和 m。

输出格式
共一行，输出 T(n) 的值。

数据范围
1≤n,m≤2^31−1
输入样例：
5 5
输出样例：
1
样例解释
T(5)=(1+2×1+3×2+4×3+5×5)mod5=1

思路

Tn+1=Tn+(n+1)∗fn+1T_{n + 1}= T_n + (n +1)* f_{n + 1}Tn+1​=Tn​+(n+1)∗fn+1​，矩阵乘法要使用快速幂推导，等式必须是线性的，也就是保证转移矩阵中只有常数。
对于求取TnT_nTn​，必须构造一个线性的递推公式(必须包含TnT_nTn​)的函数。
对于Pn=nSn−TnP_{n} = nS_n - T_nPn​=nSn​−Tn​有这样的递推公式Pn+1=Pn+SnP_{n + 1} = P_n + S_nPn+1​=Pn​+Sn​
构造Fn=[fn,fn+1,Sn,Pn]F_n = [f_n, f_{n + 1}, S_n, P_n]Fn​=[fn​,fn+1​,Sn​,Pn​]，Fn+1=[fn+1,fn+2,Sn+1,Pn+1]F_{n + 1} = [f_{n + 1}, f_{n + 2}, S_{n + 1}, P_{n + 1}]Fn+1​=[fn+1​,fn+2​,Sn+1​,Pn+1​],
转移矩阵为A=[[0,1,0,0],[1,1,1,0],[0,0,1,1],[0,0,0,1]]A = [[0, 1, 0, 0], [1, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 1], [0, 0, 0, 1]]A=[[0,1,0,0],[1,1,1,0],[0,0,1,1],[0,0,0,1]]
Fn=F1∗An−1F_n = F_1* A^{n - 1}Fn​=F1​∗An−1

代码

from copy import deepcopy
N = 4
F1 = [[0] * N for _ in range(N)]
F1[0] = [1, 1, 1, 0]
A = [[0, 1, 0, 0], [1, 1, 1, 0], [0, 0, 1, 1],[0, 0, 0, 1]]
def mul(a, b) :tmp = [[0] * N for _ in range(N)]for i in range(N) :for j in range(N) :for k in range(N) :tmp[i][j] = (tmp[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % mreturn tmpdef qmi(a, k) :res = deepcopy(F1)while k :if k & 1 :res = mul(res, a)k >>= 1a = mul(a, a)return resn, m = map(int, input().split())
res = qmi(A, n - 1)
print((n * res[0][2] - res[0][3]) % m)