微分中值定理之柯西中值定理
柯西中值定理
若函数f(x)f(x)f(x)和g(x)g(x)g(x)满足
- 在闭区间[a,b][a,b][a,b]连续
- 在开区间(a,b)(a,b)(a,b)可导
- g′(x)≠0g'(x)\neq 0g′(x)=0
则存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使得f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)
例题
设函数f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，在(a,b)(a,b)(a,b)内可导(0
解：
\qquad令g(x)=lnxg(x)=\ln xg(x)=lnx
∵f(x),g(x)\qquad \because f(x),g(x)∵f(x),g(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，在(a,b)(a,b)(a,b)内可导
∴\qquad \therefore∴由柯西中值定理得：∃ξ∈(a,b)\exist \xi\in(a,b)∃ξ∈(a,b)，使得
f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)\qquad \qquad \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)，即f(b)−f(a)lnb−lna=f′(ξ)1ξ=ξf′(ξ)\dfrac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}=\dfrac{f'(\xi)}{\frac1\xi}=\xi f'(\xi)lnb−lnaf(b)−f(a)=ξ1f′(ξ)=ξf′(ξ)
\qquad得证f(b)−f(a)=ξlnbaf′(ξ)f(b)-f(a)=\xi\ln\dfrac ba f'(\xi)f(b)−f(a)=ξlnabf′(ξ)
总结
构造g(x)g(x)g(x)，通过f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)用柯西中值定理解题
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